Enlaces internos
posición
desplazamiento
velocidad media
velocidad instantánea
aceleración media
aceleración instantánea
mov. rectilineo uniforme
mov. u. acelerado
movimiento circular
movimiento proyectiles
parábola seguridad
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aceleración media
aceleración instantánea
mov. rectilineo uniforme
mov. u. acelerado
movimiento circular
movimiento proyectiles
parábola seguridad
Supongamos un objeto en movimiento, si en el instante
inicial se encuentra en P1, su posición
queda
determinada por el vector de posición r1
y si en un instante posterior (t) ha llegado a P2 siguiendo
la trayectoria T, su posición vendrá dada por r2 y el desplazamiento
experimentado
por el objeto será el vector Δr=r2-r1
.
En el caso particular que el espacio recorrido sobre la trayectoria (s) coincida con el módulo del vector desplazamiento (Δr) el movimiento será rectilíneo.
La velocidad media en el trayecto entre P1 y P2 habrá sido
, mientras que la
velocidad instantánea en
cualquier punto de la trayectoria se
obtendrá mediante la expresión 
.
La expresión de la velocidad instantánea nos permite deducir que es un vector tangente a la trayectoria en cada punto dr/dt.
En el caso particular que en todo el intervalo vm=v el movimiento habrá sido uniforme.
Si la velocidad no es constante, se define la aceleración media
; la
aceleración
instantánea se obtendrá a partir de 
. En el caso
particular, que en todo el intervalo de tiempo considerado, am=a hablamos de un movimiento
uniformemente acelerado.
Movimiento uniforme
Como en este caso v=constante el movimiento es necesariamente rectilíneo (dada la condición vectorial de la velocidad), por tanto podemos hablar de movimiento rectilíneo uniforme (MRU).
Se puede obtener el espacio recorrido por el móvil calculando el área del gráfico v vs. t. La representación del espacio recorrido frente al tiempo será una recta.
Movimiento uniformemente acelerado
En este caso a=constante y el movimiento es necesariamente rectilíneo (dada la condición vectorial de la aceleración), por tanto podemos hablar de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA). En este caso como a=Δv/Δt}=(v-v0)/t ,obtenemos la siguiente expresión para la velocidad: v=v0+at.
El área del gráfico v vs.t también nos proporciona el espacio recorrido por el móvil:
(suponiendo que inicialmente el móvil se
encontrase en el origen).
El gráfico e vs. t en el MRUA es una parábola.
Combinando las ecuaciones de la velocidad y del espacio obtenemos v2=v02+2ae
El movimiento de caída libre en el campo gravitatorio terrestre (para pequeñas alturas) se puede considerar un MRUA con aceleración g=9.8 m/s2.
Movimiento circular
En este movimiento el móvil describe una trayectoria circular, por tanto el vector velocidad, que en cada punto es tangente a la trayectoria, cambia continuamente de dirección. El cambio de dirección de la velocidad hace que este movimiento sea siempre acelerado, aunque se mantenga constante el módulo de la velocidad. Si v=constante , pero vno lo es y definimos un vector unitario en la dirección del vector velocidad en un instante dado(u):
u es perpendicular a du/dt, y consecuentemente el vector dv/dt es perpendicular a v, por tanto la aceleración debida al cambio de dirección del vector velocidad en un movimiento circular es perpendicular a la velocidad, esta aceleración se llama centrípeta (ac) y siempre está dirigida hacia el centro de la trayectoria, su módulo (v2/R) se puede encontrar aplicando algunas consideraciones geométricas.
Si en un movimiento circular se produce un cambio en el módulo del vector velocidad el móvil estará afectado por dos aceleraciones, una llamada tangencial - porque tiene la misma dirección que el vector velocidad en cada punto- y la aceleración centrípeta.
En un movimiento circular también se puede definir la velocidad angular (ω ) cuyo módulo es ω=dθ/dt, que está relacionada con la velocidad (v) y el vector de posición del móvil(r) por la expresión v= ω x r. Si el módulo de la velocidad angular no es constante se define la aceleración angular α =dω/dt.
Algunas expresiones útiles en la resolución de problemas de movimientos circulares son:
Movimiento de proyectiles
Un proyectil lanzado con una velocidad inicial v0 , que forma un ángulo θ con la horizontal, experimentará dos movimientos simultáneos, uno horizontal, que será el responsable de que avance, y otro vertical, que será el responsable de la variación de altura que experimentará. Si suponemos despreciable la fricción con el aire:
- movimiento horizontal:
- movimiento vertical:
si aislamos t en la ecuación del movimiento horizontal y sustituimos su valor en la del vertical, obtendremos la ecuación de la trayectoria del movimiento:
La ecuación de la trayectoria corresponde a una parábola en el plano XY
cuando el proyectil alcance la altura máxima se cumplirá que vy=0:
sustituyendo este tiempo en la ecuación del movimiento vertical obtendremos la altura máxima alcanzada:
como el movimiento vertical es simétrico, dado que durante todo el trayecto actúa sobre el proyectil una aceleración -g, los tiempos de subida y bajada, hasta el nivel del lanzamiento, serán los mismos, por lo cual el tiempo total de vuelo será el doble del que ha invertido en alcanzar la altura máxima, y durante este tiempo el proyectil habrá avanzado horizontalmente, con lo cual la máxima distancia horizontal será:
De la expresión anterior podemos deducir que, para una velocidad inicial del proyectil dada el máximo alcance se obtendrá para un ángulo de 45º.
Si tenemos en cuenta la relación entre el coseno y la tangente de un ángulo, podemos obtener, a partir de la ecuación de la trayectoria:
Para una velocidad de lanzamiento (v0) dada, usando la expresión anterior, podemos obtener, el o, los ángulos que alcanzarán un determinado objetivo ( x,y) . Para que tan θ tenga solución real el discriminante ( Δ) , de la ecuación de segundo grado, debe ser igual o mayor a 0:
En el caso que Δ=0 se obtendrá una solución única para tan θ, mientras que si Δ>0 será posible alcanzar el objetivo disparando con dos ángulos distintos.
esta última expresión se conoce como parábola de seguridad.
La parábola de seguridad delimita dos zonas, la batida en la cual cualquier objetivo puede ser alcanzado con dos ángulos de tiro, de la no batida (Δ<0) que es inalcanzable con la velocidad inicial del proyectil. En la zona batida si el objetivo se alcanza con un ángulo inferior a 45º se habla de tiro rasante, en caso contrario de tiro por elevación.
En el caso particular que el espacio recorrido sobre la trayectoria (s) coincida con el módulo del vector desplazamiento (Δr) el movimiento será rectilíneo.
La velocidad media en el trayecto entre P1 y P2 habrá sido
, mientras que la
velocidad instantánea en
cualquier punto de la trayectoria se
obtendrá mediante la expresión .La expresión de la velocidad instantánea nos permite deducir que es un vector tangente a la trayectoria en cada punto dr/dt.
En el caso particular que en todo el intervalo vm=v el movimiento habrá sido uniforme.
Si la velocidad no es constante, se define la aceleración media
; la
aceleración
instantánea se obtendrá a partir de . En el caso
particular, que en todo el intervalo de tiempo considerado, am=a hablamos de un movimiento
uniformemente acelerado.Movimiento uniforme
Como en este caso v=constante el movimiento es necesariamente rectilíneo (dada la condición vectorial de la velocidad), por tanto podemos hablar de movimiento rectilíneo uniforme (MRU).
Se puede obtener el espacio recorrido por el móvil calculando el área del gráfico v vs. t. La representación del espacio recorrido frente al tiempo será una recta.
Movimiento uniformemente acelerado
En este caso a=constante y el movimiento es necesariamente rectilíneo (dada la condición vectorial de la aceleración), por tanto podemos hablar de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA). En este caso como a=Δv/Δt}=(v-v0)/t ,obtenemos la siguiente expresión para la velocidad: v=v0+at.
El área del gráfico v vs.t también nos proporciona el espacio recorrido por el móvil:
(suponiendo que inicialmente el móvil se
encontrase en el origen).El gráfico e vs. t en el MRUA es una parábola.
Combinando las ecuaciones de la velocidad y del espacio obtenemos v2=v02+2ae
El movimiento de caída libre en el campo gravitatorio terrestre (para pequeñas alturas) se puede considerar un MRUA con aceleración g=9.8 m/s2.
Movimiento circular
En este movimiento el móvil describe una trayectoria circular, por tanto el vector velocidad, que en cada punto es tangente a la trayectoria, cambia continuamente de dirección. El cambio de dirección de la velocidad hace que este movimiento sea siempre acelerado, aunque se mantenga constante el módulo de la velocidad. Si v=constante , pero vno lo es y definimos un vector unitario en la dirección del vector velocidad en un instante dado(u):
u es perpendicular a du/dt, y consecuentemente el vector dv/dt es perpendicular a v, por tanto la aceleración debida al cambio de dirección del vector velocidad en un movimiento circular es perpendicular a la velocidad, esta aceleración se llama centrípeta (ac) y siempre está dirigida hacia el centro de la trayectoria, su módulo (v2/R) se puede encontrar aplicando algunas consideraciones geométricas.
Si en un movimiento circular se produce un cambio en el módulo del vector velocidad el móvil estará afectado por dos aceleraciones, una llamada tangencial - porque tiene la misma dirección que el vector velocidad en cada punto- y la aceleración centrípeta.
En un movimiento circular también se puede definir la velocidad angular (ω ) cuyo módulo es ω=dθ/dt, que está relacionada con la velocidad (v) y el vector de posición del móvil(r) por la expresión v= ω x r. Si el módulo de la velocidad angular no es constante se define la aceleración angular α =dω/dt.
Algunas expresiones útiles en la resolución de problemas de movimientos circulares son:
Movimiento de proyectiles
Un proyectil lanzado con una velocidad inicial v0 , que forma un ángulo θ con la horizontal, experimentará dos movimientos simultáneos, uno horizontal, que será el responsable de que avance, y otro vertical, que será el responsable de la variación de altura que experimentará. Si suponemos despreciable la fricción con el aire:
- movimiento horizontal:
- movimiento vertical:
si aislamos t en la ecuación del movimiento horizontal y sustituimos su valor en la del vertical, obtendremos la ecuación de la trayectoria del movimiento:
La ecuación de la trayectoria corresponde a una parábola en el plano XY
cuando el proyectil alcance la altura máxima se cumplirá que vy=0:
sustituyendo este tiempo en la ecuación del movimiento vertical obtendremos la altura máxima alcanzada:
como el movimiento vertical es simétrico, dado que durante todo el trayecto actúa sobre el proyectil una aceleración -g, los tiempos de subida y bajada, hasta el nivel del lanzamiento, serán los mismos, por lo cual el tiempo total de vuelo será el doble del que ha invertido en alcanzar la altura máxima, y durante este tiempo el proyectil habrá avanzado horizontalmente, con lo cual la máxima distancia horizontal será:
De la expresión anterior podemos deducir que, para una velocidad inicial del proyectil dada el máximo alcance se obtendrá para un ángulo de 45º.
Si tenemos en cuenta la relación entre el coseno y la tangente de un ángulo, podemos obtener, a partir de la ecuación de la trayectoria:
Para una velocidad de lanzamiento (v0) dada, usando la expresión anterior, podemos obtener, el o, los ángulos que alcanzarán un determinado objetivo ( x,y) . Para que tan θ tenga solución real el discriminante ( Δ) , de la ecuación de segundo grado, debe ser igual o mayor a 0:
En el caso que Δ=0 se obtendrá una solución única para tan θ, mientras que si Δ>0 será posible alcanzar el objetivo disparando con dos ángulos distintos.
esta última expresión se conoce como parábola de seguridad.
La parábola de seguridad delimita dos zonas, la batida en la cual cualquier objetivo puede ser alcanzado con dos ángulos de tiro, de la no batida (Δ<0) que es inalcanzable con la velocidad inicial del proyectil. En la zona batida si el objetivo se alcanza con un ángulo inferior a 45º se habla de tiro rasante, en caso contrario de tiro por elevación.
