La masa inercial (m) es una magnitud que representa
la resistencia de un cuerpo al cambio en su estado de movimiento
(1ª ley de Newton).
Si estudiamos el sistema Tierra-Luna y aceptamos que la fuerza atractiva de la Tierra sobre la Luna es directamente proporcional a la masa inercial de la Luna (m) e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa los centros de ambas, y tenemos en cuenta la 2ª ley de Newton ( la fuerza ejercida sobre un cuerpo es igual al producto de su masa inercial por la acceleración que experimenta), obtendremos: FL = ma = KTm/r2 . Teniendo en cuenta la 3ª ley de Newton ( a toda acción corresponde una reacción igual y de sentido contrario), la Luna atraerá a la Tierra con FT = FL, siendo FT = KTM/r2 .
Para Newton KT y KL eran las potencias atractivas de Tierra y Luna, respectivamente. En este punto atribuyó a cada objeto una masa gravitatoria (μ) relacionada con la capacidad para atraer a otros cuerpos, así: KT=GμT y KL=GμL , el valor de la constante G (constante de la gravitación universal) fué determinado por Cavendish usando un péndulo de torsión, su valor es G=6.67·10-11 Nm2kg-2.
Si sustituimos los valores de las "potencias atractivas" en las ecuaciones de las fuerzas, obtenemos: M/μT = m/μL = cte.
Para determinar el
valor de esta constante adimensional Newton
utilizó un péndulo simple.
Tcosθ=μg ,, Tsinθ=ma ... a=μ/m g tgθ ... para ángulos pequeños ... a=μ/m gθ ... a=- μ/m gx/l ( el signo "-" es debido al sentido contrario de x y a), esta expresión nos indica que el movimiento del péndulo es armónico simple, con lo que a=- ω2x y T= 2π/ω, obteniéndose T= 2π (m/μ)½(l/g)½
Construyendo dos péndulos simples de masas m1 y m2 y se miden los períodos para diferentes longitudes, las pendientes de las rectas obtenidas al representar T2 frente a l, son iguales para ambos péndulos, cosa que demuestra que m1/μ1=m2/μ2 =1, es decir que la masa inerte y la gravitatoria de cada péndulo son iguales.
La fuerza que actúa sobre una masa en las proximidades de la Tierra viene dada por la ley de Newton de la Gravitación:
, con lo que
la
masa experimentará una aceleración: 
, si r=R (radio de
la Tierra): 
La energía potencial en el campo gravitatorio se define como:
Si estudiamos el sistema Tierra-Luna y aceptamos que la fuerza atractiva de la Tierra sobre la Luna es directamente proporcional a la masa inercial de la Luna (m) e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa los centros de ambas, y tenemos en cuenta la 2ª ley de Newton ( la fuerza ejercida sobre un cuerpo es igual al producto de su masa inercial por la acceleración que experimenta), obtendremos: FL = ma = KTm/r2 . Teniendo en cuenta la 3ª ley de Newton ( a toda acción corresponde una reacción igual y de sentido contrario), la Luna atraerá a la Tierra con FT = FL, siendo FT = KTM/r2 .
Para Newton KT y KL eran las potencias atractivas de Tierra y Luna, respectivamente. En este punto atribuyó a cada objeto una masa gravitatoria (μ) relacionada con la capacidad para atraer a otros cuerpos, así: KT=GμT y KL=GμL , el valor de la constante G (constante de la gravitación universal) fué determinado por Cavendish usando un péndulo de torsión, su valor es G=6.67·10-11 Nm2kg-2.
Si sustituimos los valores de las "potencias atractivas" en las ecuaciones de las fuerzas, obtenemos: M/μT = m/μL = cte.
Para determinar el
valor de esta constante adimensional Newton
utilizó un péndulo simple.Tcosθ=μg ,, Tsinθ=ma ... a=μ/m g tgθ ... para ángulos pequeños ... a=μ/m gθ ... a=- μ/m gx/l ( el signo "-" es debido al sentido contrario de x y a), esta expresión nos indica que el movimiento del péndulo es armónico simple, con lo que a=- ω2x y T= 2π/ω, obteniéndose T= 2π (m/μ)½(l/g)½
Construyendo dos péndulos simples de masas m1 y m2 y se miden los períodos para diferentes longitudes, las pendientes de las rectas obtenidas al representar T2 frente a l, son iguales para ambos péndulos, cosa que demuestra que m1/μ1=m2/μ2 =1, es decir que la masa inerte y la gravitatoria de cada péndulo son iguales.
La fuerza que actúa sobre una masa en las proximidades de la Tierra viene dada por la ley de Newton de la Gravitación:
, con lo que
la
masa experimentará una aceleración: , si r=R (radio de
la Tierra): La energía potencial en el campo gravitatorio se define como:
Ejemplo G1
Se quiere poner en órbita un satélite artificial de masa m = 50 kg, que describa una órbita circular en el plano del Ecuador, de un radio doble del radio de la Tierra, R = 2x107/π m. La Tierra se supone aislada en el espacio y girando con un período T = 86400 s. Calcular: 1) La energía mínima que hay que comunicarle al satélite. 2) La energía adicional que habrá que comunicarle para, una vez en órbita, enviarlo al infinito.
Ejemplo G2
Calcular la velocidad y el período de un satélite que describe una órbita circular alrededor de la Tierra, a la altura z = 200 km sobre su superficie. El radio de la Tierra es R = 6370 km y la intensidad g0 del campo gravitatorio terrestre a nivel del suelo es 9.81 N kg-1.
Ejemplo G3
Un meteorito se encuentra inicialmente en reposo a una distancia del centro de la Tierra igual a seis veces el radio de ésta. Calcular la velocidad que tendrá al llegar a la superficie de la Tierra.
Ejemplo G4
Desde la superficie de la Tierra se lanza una partícula verticalmente hacia arriba con velocidad v. Siendo g la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre y R el radio de la Tierra, demostrar que la partícula alcanzará la altura h, medida desde el centro de la Tierra, siendo:
Se quiere poner en órbita un satélite artificial de masa m = 50 kg, que describa una órbita circular en el plano del Ecuador, de un radio doble del radio de la Tierra, R = 2x107/π m. La Tierra se supone aislada en el espacio y girando con un período T = 86400 s. Calcular: 1) La energía mínima que hay que comunicarle al satélite. 2) La energía adicional que habrá que comunicarle para, una vez en órbita, enviarlo al infinito.
Ejemplo G2
Calcular la velocidad y el período de un satélite que describe una órbita circular alrededor de la Tierra, a la altura z = 200 km sobre su superficie. El radio de la Tierra es R = 6370 km y la intensidad g0 del campo gravitatorio terrestre a nivel del suelo es 9.81 N kg-1.
Ejemplo G3
Un meteorito se encuentra inicialmente en reposo a una distancia del centro de la Tierra igual a seis veces el radio de ésta. Calcular la velocidad que tendrá al llegar a la superficie de la Tierra.
Ejemplo G4
Desde la superficie de la Tierra se lanza una partícula verticalmente hacia arriba con velocidad v. Siendo g la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre y R el radio de la Tierra, demostrar que la partícula alcanzará la altura h, medida desde el centro de la Tierra, siendo:
